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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
Unidade II
SISTEMAS LINEARES
0011 0010
1
452
Introdução
0011 0010
1
452
A resolução de sistemas lineares pode surgir em diversas áreas do
conhecimento.
O caso geral, em que o sistema linear envolve m equações com n
incógnitas, o sistema pode apresentar uma única solução, infinitas
soluções ou não admitir solução.
Neste capítulo vamos analisar esquemas numéricos para soluções de
sistemas lineares de n equações com n incógnitas, supondo que
este tenha uma única solução:
a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a x  a x  a x  ....  a x  b
 21 1 22 2
23 3
2n n
2


an1 x1  an 2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
0011 0010
1
452
O sistema é representado por A x = b
onde aij são os coeficientes, xj são as incógnitas e os bj são os
termos independentes.
Os métodos de resolução de equações lineares são
classificados em:
Métodos Diretos - fornecem a solução exata de um
sistema linear, a menos dos erros de máquina, através da
realização de um número finito de operações.
Métodos Iterativos – fornecem uma seqüência de
aproximações para a solução X a partir de uma solução inicial
X(0).
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1
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Métodos Iterativos
0011 0010
1
452
Métodos Iterativos
Vamos considerar um sistema linear AX = b, onde:
A: matriz de coeficientes, n x n;
X =(x1, x2, ..., xn)t: vetor de variáveis, n x 1
b: vetor independente, n x 1 (constantes)
Tal sistema linear pode ser escrito na forma equivalente:
X = CX + d
onde:
C: matriz com dimensões n x n;
d: vetor com dimensões n x 1;
0011 0010
1
452
Partindo de um vetor X(0) (vetor aproximação inicial), constrói-se
uma seqüência iterativa de vetores:
X(1) = CX(0) + d
Primeira aproximação
X(2) = CX(1) + d
Segunda aproximação
De um modo geral, a aproximação X(k+1) é dada por:
X ( k 1)  CX ( k )  d
k = 0, 1, 2, ...
OBSERVAÇÃO: k é chamado de índice de iteração.
Sendo um processo iterativo, necessitamos de um critério de
parada. E para isto temos que ter uma medida entre as
aproximações X(k+1) e X(k). Para isto vamos usar o conceito de
norma de matrizes.
0011 0010
1
452
Definição:
Uma norma em R nm é uma aplicação
satisfaz as seguintes propriedades:
 : R nm  R que
P.1- A  0 e A  0  A  0, A  R nm
P.2 - A   A ,   R ; A  R nm
P.3 - A  B  A  B , A, B  R nm
As normas matriciais mais usadas são:
n

A 1  max  aij 
1 j  m
 i 1

m

A   max  aij 
1i  m
 j 1 
Norma coluna
Norma linha
1/ 2
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 n m
2

A 2    aij 
 i 1 j 1

Norma Euclidiana
1
452
Além disso, as normas
seguintes propriedades:
 1, 
2
e 

satisfazem as
P.4 - AX  A X
P.5 - AB  A B
A norma vetorial pode ser vista como um caso particular da norma
n
matricial, onde um vetor X  R é equivalente a uma matriz de
ordem n 1.Com isto temos as normas de vetores dadas por:
n
X 1   Xi
Norma 1 (norma coluna)
i 1
X

 max X i
2
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1/ 2

2
  Xi 
 i 1

n
X
Norma infinita (norma linha)
1i  n
Norma Euclidiana
1
452
O conceito de norma nos permite definir convergência de uma
seqüência de vetores {Xk}. Dizemos que X(k)→X se
lim X ( k )  X  0
k 
onde X é a solução do sistema linear.
0011 0010
1
452
Com isto podemos definir os critérios de parada: Dado um e > 0
X ( k 1)  X ( k )  e
X ( k 1)  X ( k )
|| X
( k 1)
||
b  AX ( k )  e
k  k max
0011 0010
e
Erro Absoluto
Erro Relativo
Teste do Resíduo
Número máximo de iterações
1
452
Critério de convergência
0011 0010
1
452
Critério de convergência
Seja ║.║ uma norma qualquer de matriz. Se ║C║<1 o processo
iterativo X(k+1)=CX(k)+d fornecerá uma seqüência {X(k)} convergente
para a solução do sistema AX = b.
Demonstração:
Seja X solução do sistema. Então: X = CX + d.
Subtraindo membro a membro de X = CX + d e X(k+1)=CX(k)+d tem-se:
X ( k 1)  X  CX ( K )  d  CX  d  
X
( k 1)


 X  C X (k )  X

Sendo o erro em cada iteração dado por e(k) =X(k) – X e usando as
propriedades de norma AB  A B
0011 0010
segue que:
1
452
e ( k 1)  C e ( k )
 C
2
e ( k 1)
 
 C
k 1
e(0)
Logo a seqüência {X(k)} converge para a solução do sistema X se
lim e( k 1)  lim C
k 
k 1
e( 0)  0, e isto ocorre se a matriz C satisfaz a
k 
condição C  1.
Quanto menor || C || mais rápido a convergência do
processo.
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1
452
Método iterativo de
Gauss-Jacobi
0011 0010
1
452
Seja o sistema linear:
a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a x  a x  a x  ....  a x  b
 21 1 22 2 23 3
2n n
2


an1 x1  an 2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
Supondo aii  0, i  1, 2,..., n, isole a coordenada xi do vetor X,
na i-ésima equação, da seguinte forma:
1

 x1  a (b1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn )
11

1

x

(b2  a21 x1  a23 x3  ...  a2 n xn )
 2
a22



1

x

 n a (bn  an1 x1  an 2 x2  ...  ann1 xn 1 )
nn

0011 0010
1
452
Desta forma, tem-se o sistema equivalente X = CX + d, onde

 a / a
 21 22
C    a31 / a33



 an1 / ann
 a12 / a11
 a32 / a33

 an 2 / ann
 b1 / a11 
 a13 / a11   a1n / a11 
b2 / a22 
 a23 / a22   a2 n / a22 


  a3n / a33  e d  b3 / a33 

  







b
/
a
 an3 / ann 
 n nn 

Dada uma aproximação inicial: X(0)
o Método de G.Jacobi consiste em obter seqüência: X(1), X(2),...,
X(k)
através da relação recursiva: X(k+1)=CX(k)+d.
0011 0010
1
452
Assim,
 ( k 1) 1
(k )
(k )
(k )
x

(
b

a
x

a
x

...

a
x
)
1
1
12
2
13
3
1
n
n

a11

1
 ( k 1)
(k )
(k )
(k )
x

(
b

a
x

a
x

...

a
x
 2
2
21 1
23 3
2n n )
a

22


1
 ( k 1)
(k )
(k )
(k )
x

(
b

a
x

a
x

...

a
x
n
n1 1
n2 2
nn1 n 1 )
 n
ann

Observe que o processo iterativo utiliza somente estimativas
da iteração anterior.
0011 0010
1
452
Método iterativo de
Gauss-Seidel
0011 0010
1
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Observando as equações de iteração no método de Jacobi ou seja
 (k1) 1
(k )
(k )
(k )
x

(
b

a
x

a
x

...

a
x
)
1
1
12
2
13
3
1
n
n

a11

1
 ( k 1)
(k )
(k )
(k )
x

(
b

a
x

a
x

...

a
x
 2
2
21 1
23 3
2n n )
a22



1
 ( k 1)
(k )
(k )
(k )
x

(
b

a
x

a
x

...

a
x
n
n1 1
n2 2
nn1 n 1 )
 n
ann

nota-se que na iteração de ordem (k+1) são usadas as
componentes xj(k) da iteração anterior.
0011 0010
1
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No
Método
de
Gauss-Seidel
para
calcular
a
componente xj da iteração (k+1), utiliza-se as componentes já
atualizadas x1(k+1), x2(k+1), ..., xj-1(k+1) e as componentes ainda não
atualizadas da iteração anterior xj+1(k), xj+2(k), ..., xn(k).
 x1(k+1)= 1
a

 x2(k+1)= 1
a

 x3(k+1)= 1
a
.
 ..
 x (k+1)= 1
n
 (k+1)
a
(b1 - a12 x2 (k) - a13 x3 (k) - a13 x3 (k) - ... - a1n xn (k)
11
(b2 - a21 x1 (k+1) - a23 x3 (k) – a24 x4 (k) - ... - a2n xn (k)
22
(b3 - a31 x1(k+1) - a32 x2 (k+1) – a34x4 (k) - ... - a3n xn (k)
33
nn
0011 0010
(bn - an1 x1(k+1) - an2 x2 (k+1) – an3x4 (k+1) - ... - ann-1 xn-1
1
452
Interpretação Geométrica do Método de Gauss-Seidel
Considere o sistema linear 2x2 dado pelas equações abaixo e
geometricamente representados pela retas r1 e r2.
y
r1 : a1 x1  b1 x2  c1

r2 : a2 x1  b2 x2  c2
r2
r1
x
Temos:
r1 : a1 x1  b1 x2  c1
r1 : x1  (c1  b1 x2 ) / a1


r2 : a2 x1  b2 x2  c2 r2 : x2  (c2  b2 x2 ) / a2
0011 0010
1
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y
( x11 , x12 )
r2
r1
0,
0)
Inicie no ponto (x1 x2 = (0,0).
( x10 , x20 )
( x11 , x20 )
x
Para determinar (x11, x20), substitua na reta r1 o valor x20, ou seja mova ao
longo da reta horizontal iniciando no ponto (0, 0) até encontrar a reta r2.
O próximo ponto (x11, x21), é determinado movendo-se ao longo de uma reta
vertical iniciando no ponto (x11, x20) até encontrar a reta r1.
1
452
Continuando desde modo, aproxima-se sucessivamente da solução do
sistema, no caso da seqüência ser convergente.
0011 0010
y
r2
( x11 , x12 )
3
1
2
1
1
2
(x , x )
3
2
(x , x )
( x13 , x22 )
r1
( x12 , x22 )
0
1
0
2
(x , x )
0011 0010
1
1
0
2
(x , x )
x
1
452
Critério de Sassenfeld
0011 0010
1
452
Seja o sistema linear
a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a x  a x  a x  ....  a x  b
 21 1 22 2
23 3
2n n
2


an1 x1  an 2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
definindo:
1 
j 
a12  a13  a14  .......  a1n
a11
a j1 1  a j 2  2  ..............  a jj 1  j 1  a jj 1  ......  . a jn
para j = 2, 3, ..., n.
0011 0010
e
a jj
1
452
Define-se
  max  j
1 j  n
Se β<1, então o Método de Gauss-Seidel gera uma
seqüência convergente para a solução do sistema, qualquer que seja
o vetor inicial. Além disso, quanto menor for o valor de β mais rápida
é a convergência.
0011 0010
1
452
Métodos diretos
0011 0010
1
452
Os Métodos Diretos são aqueles que após um número finito
de operações fornecem a solução exata do sistema, a menos dos
erros de arredondamentos.
Definição:
Dois sistemas lineares são equivalentes se estes tem a
mesma solução.
Podemos obter um sistema equivalente ao dado, efetuando
as seguintes operações elementares:
Trocar duas equações;
multiplicar uma equação por uma constante;
1
452
somar uma equação a outra multiplicada por uma constante;
0011 0010
Sistema Triangular Superior
Denomina-se sistema triangular superior a todo sistema
Ax =b em que aij = 0, para j < i.
a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1

a22 x2  a23 x3  ....  a2 n xn  b2

a33 x3  ....  a3n xn  b3


  

ann xn  bn

0011 0010
1
452
Método de Eliminação
de Gauss
0011 0010
1
452
O Método de Eliminação de Gauss consiste em transformar um
sistema linear Ax= b em um sistema triangular superior equivalente.
Considere o sistema linear:
a11x1  a12 x2  a13 x3  ...  a1n xn  b1
a x  a x  a x  ....  a x  b
 21 1 22 2
23 3
2n n
2


an1 x1  an 2 x2  an3 x3  ...  ann xn  bn
onde det(A) ≠ 0, isto é, o sistema admite uma única solução.
0011 0010
1
452
O sistema linear pode ser representado na forma de matriz
estendida [A0 | b0 ], ou seja:
a11( 0 )
 (0)
a 21
 
 (0)
a n1
a12( 0 )
a (220 )

a (n02 )
 a1(n0 )
 a (20n )
 
 a (nn0 )
b1( 0 ) 
(0) 
b2 
 

bn 
onde o índice superior indica a etapa do processo.
Etapa 1
Eliminar a incógnita x1 das equações k = 2, 3, ..., n. Sendo a11(0) ≠0,
subtraímos da linha k a primeira linha multiplicada por:
0011 0010
(0)
k1
(0)
11
a
mk1 
a
1
452
Os elementos mk1 são chamados de multiplicadores e o
elemento a11(0) é chamado de pivô da Etapa 1. Indicando a linha k da
matriz por Lk(0), esta etapa se resume em:
L1(1)  L1( 0)
L(k1)  L(k0)  mk1L1( 0) , k  2, 3, ..., n
Ao final desta etapa tem-se:
a 11(1) a 12(1) a 13(1) 

(1)
(1)
a
a


22
23

a (321) a (331) 


 
(1)

a

n2

a 1(1n )
a (21n)
a (31n)

a (nn1)
b1(1) 

b2(1) 
b3(1) 

 
bn(1) 
1
452
que representa um sistema linear equivalente ao sistema original,
onde a incógnita x1 foi eliminada das equações k = 2, 3,..., n.
0011 0010
Etapa 2
Eliminar a incógnita x2 das equações k = 3, 4, ..., n. Supondo que
a22(1) ≠ 0,vamos tomar este elemento como pivô desta etapa e desta
forma os multiplicadores são dados por
mk 2 
ak( 12 )
(1)
a22
A eliminação segue com as seguintes operações sobre as linhas:
L1( 2)  L1(1)
L(22)  L(21)
L(k2)  L(k1)  mk 2 L(21) , k  3, 4, ..., n
0011 0010
1
452
obtendo ao final da etapa a matriz
a 11( 2 )




 


a 12( 2 )
a (222 )
a 13( 2 )  a 1(n2 )
a (232 )  a (22n )
a (332 )  a (32n )

  
a (n23 )  a (nn2 )
b1( 2 ) 

b2( 2 ) 
b3( 2 ) 

 
bn( 2 ) 
Com procedimentos análogos ao das etapas 1 e 2 elimina-se as
incógnitas xk das equações k + 1, k + 2, ..., n e ao final de n -1 etapas
tem-se a matriz:
0011 0010
1
452
a 11( n 1)




 


a 12( n 1)
a (22n 1)

a 13( n 1)  a1(nn 1)
a (23n 1)  a (2nn 1)
a (33n 1)  a (3nn 1)
  
 a (nnn 1)
b1( n 1) 
( n 1) 
b2 
b3( n 1) 



bn( n 1) 
Esta matriz representa um sistema triangular superior equivalente
ao sistema original. Logo a solução deste sistema, obtido pela
Retro-Solução (substituição regressiva), é solução do sistema
original.
0011 0010
1
452
Assim,
( n 1)
n
( n 1)
nn
b
xn 
a
bn( n11)  an( n11) xn
xn 1 
an( n11n)1

n

1 
( n 1)
xi   bi   aij x j 
aii 
j i 1

0011 0010
1
452
Pivotamento Parcial
0011 0010
1
452
Em cada etapa k da eliminação temos o cálculo do multiplicador
mkj 
akj( k 1)
akk( k 1)
Se o pivô |akk(k-1)| << 1, ou seja, próximo de zero, os erros de
arredondamento se tornam significativos, pois operar números de
grandezas muito diferentes aumenta os erros.
A estratégia de pivotamento parcial é baseada na operação
elementar: Trocar duas equações.
No início de cada etapa k escolhemos como pivô o elemento de
maior módulo entre os coeficientes akk(k-1) para i = k, k + 1, ..., n.
0011 0010
1
452
Inversão de matrizes
pelo método de Gauss
0011 0010
1
452
Vamos supor que desejamos resolver os sistemas
lineares Ax = b1, Ax = b2, Ax = bk, onde a matriz A é a mesma para
todos os sistemas. A matriz triangular superior, resultante do
processo de eliminação, não depende do vetor b e portanto será
a mesma em qualquer um dos sistemas.
Assim podemos resolver estes sistemas num único
processo de eliminação usando a matriz estendida (A |b1|b2|...| bk)
e aplicando a Retro-Solução para cada vetor bk.
0011 0010
1
452
O Cálculo da inversa de uma matriz é um caso particular do
esquema acima. A inversa de uma matriz ARnxn, denotada por A-1,
é uma matriz nxn tal que
AA-1 = I
Como exemplo vamos considerar uma matriz A de dimensão 3 3
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
cuja a inversa A-1 é dada por
 x11

 x21
x
 31
0011 0010
x12
x22
x32
x13 

x23 
x33 
1
452
Logo tem-se:
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
0011 0010
a13  x11

a23  x21
a33  x31
x12
x22
x32
x13   1 0 0 
 

x23    0 1 0 
x33   0 0 1 
1
452
Portanto cada coluna k da inversa da matriz A é solução de
um sistema linear, onde o vetor dos termos independentes é a
k-ésima coluna da matriz identidade, isto é
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
a13  x11   1 
   
a23  x21    0 
a33  x31   0 
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
a13  x12   0 
   
a23  x22    1 
a33  x32   0 
 a11 a12

 a21 a22
a
 31 a32
a13  x31   0 
   
a23  x23    0 
a33  x33   1 
0011 0010
1
452
Portanto, se temos uma matriz nxn, podemos achar a
inversa resolvendo n sistemas lineares, representados pela matriz
estendida (A | b1| b2 | ... | bk) , onde os vetores bk são os vetores
unitários ( 1 na posição k e zeros nas demais posições).
0011 0010
1
452