Conjuntos_Numericos___Fund._Mat._I___2009.2

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
CURSO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA I
PROFESSOR: ANTONIO FÁBIO
DATA: ___/___/____
ALUNO: __________________________________________________________
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
 Conjunto dos Números Naturais:
Os números naturais foram o primeiro sistema de números desenvolvido e foram usados primitivamente, para
contagem. Esse conjunto infinito, denotado por N é dado por N = {1, 2, 3, ...}. Usualmente encontramos e vamos
considerar N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} e N* = {1, 2, 3, 4, ...}.
 Conjunto dos Números Inteiros:
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...}.
No conjunto dos números inteiros destacamos cinco subconjuntos:
a)
Z   0, 1, 2, 3, ...  N  conjunto dos inteiros não negativos.
b)
Z   ...,3,  2,  1, 0  conjunto dos inteiros não positivos.
c)
Z *  ...,3,  2,  1, 1, 2, 3,...   conjunto dos inteiros não nulos.
d)
Z *   1, 2, 3, ...  conjunto dos inteiros positivos.
e)
Z *  ...,3,  2,  1  conjunto dos inteiros negativos.
 Conjunto dos Números Racionais:


Chama-se conjunto do números racionais o conjunto Q   x x 
m

, onde m  Z e n  Z * . Logo, podemos os
n

números racionais são todos aqueles números que podem ser escritos na forma de uma fração, onde o numerador é um
número inteiro e o denominador é um número inteiro não nulo.
Observe que todo número natural é um número inteiro e todo número inteiro pode ser escrito na forma de uma
fração, logo: N  Z  Q.
Como podemos observar os números decimais exatos e as dízimas periódicas também são números racionais.
Exemplos:
a) 7  Q, pois 7 
14
2
c)  3  Q, pois  3 
b) 0  Q, pois 0 
6
2
e) 0,3333 ... Q, pois 0,3333 ... 
0
2
d) 0,7  Q, pois 0,7 
7
10
1
3
1
 Conjunto dos Números Irracionais:
Os números que não podem ser escritos na forma
p
, com q  0, p,q  Z, isto é, os números que não pertencem
q
a Q, são definidos como números irracionais. O conjunto dos números irracionais pode ser representado por
Q ' , Q ou I .Em símbolos podemos escrever: Q'  x x  Q.
Por exemplo, são números irracionais, as raízes não exatas,
2,
3 , 3 2 , etc... , e o número .
 Conjunto dos Números Reais:
Da reunião do conjunto dos Números Racionais com o conjunto dos Números Irracionais, resulta o conjunto dos
Números Reais ( R ).
Em R estão definidas duas operações, adição ( + ) e multiplicação ( . ), e uma relação (  ). A adição associa a
cada par (x,y) de números reais um único número real indicado por (x + y), a multiplicação um único número real (x.y).
Sejam x,yR, dizemos que x é estritamente menor que y (ou y é estritamente maior que x) e escrevemos x < y (ou
y > x) se existe um número real K estritamente positivo tal que y = x + K. A notação x  y é usada para indicar a
afirmação “x < y ou x = y”. A notação x  y é equivalente a y  x.
A quádrupla (R, +, ., ) satisfaz as seguintes propriedades (x, y, z  R);
a) Associativa:
(A1) ( x  y)  z  x  ( y  z)
(M1) ( x. y).z  x.( y.z)
b) Comutativa:
(A2) x  y  y  x
(M2) x. y  y.x
c) Existência do elemento neutro:
(A3) x  0  x
(M3) x.1  x
d) Existência do oposto:
(A4) x  R,   y  R x  y  0. Tal y denomina-se o oposto de x e indica-se por – x . Assim, x  ( x)  0 .
e) Existência do elemento inverso:
(M4) x  R, x  0   y  R x. y  1. Tal y denomina-se inverso de x e indica-se por x 1 ou
1
1
. Assim, x . x  1
x
f) Distributiva da multiplicação em relação a adição:
(D) x.( y  z )  x. y  x.z
g) Reflexiva:
(01) x  x
h) Anti-simétrica:
(O2) Se x  y e y  x  x  y
i) Transitiva:
(O3) Se x  y e y  z  x  z
2
j) Tricotomia:
(O4) x, y  R, x  y, x  y ou x  y
k) Compatibilidade da ordem com a adição:
(OA) Se x  y  x  z  y  z
l) Compatibilidade da ordem com a multiplicação:
z  0, xz  yz
(OM) Se x  y  
z  0, xz  yz
Seja A um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos e suponhamos que em A estejam
definidas duas operações indicadas por + e . ; se a terna (A, +, .) satisfazer as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4) e
(D), diremos que (A, +, .) é um corpo. Se, além disso, estiver definida uma relação (  ) de modo que a quádrupla (A, +, .,
 ) satisfaça todas as 15 propriedades acima, diremos que (A, +, .,  ) é um corpo ordenado.
 Conjunto dos Números Complexos:
No conjunto dos números reais não negativos a radiciação é uma operação, qualquer que seja o real não negativo
a,
n
a  R Por exemplos:
Se
o
Por exemplo,
índice
5
 32 ,
3
25 ,
for
3,
5
8 ,... são números reais.
ímpar,
n
a R
para
um
número
real
não
negativo
a.
 2 , são números reais.
Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, o radical
n
 a  R . Por exemplo,
1  R , pois é impossível
obter x real tal que x² = –1.
Esse problema é resolvido através do Conjunto dos Números Complexos (C), que será estudado
posteriormente.
Módulo de um número real:
Seja x  R . Definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por:
 x, x  0
x 
.
 x , x  0
O módulo de um número real também pode ser definido das seguintes formas:
x  x2
e
x  max x,  x
Exemplos:
a) 3  3
b)  3  3
c) 0  0
3
Decorrem da definição as seguintes propriedades ( x, y, a  R) :
1ª.) x  0;
2ª.) x  0  x  0
2
3ª ) x  x 2
4ª.) x. y  x . y
5ª.) x  y  x  y
6ª.) x  a  a  x  a, sendo a  0
7ª.) x  a  x   a ou x  a, sendo a  0
Intervalos Numéricos:
Sejam a, b  R, com a  b. Um intervalo é um subconjunt o de R descritos na seguinte forma :
. Intervalo fechado :
a, b  x  R / a  x  b
. Intervalo aberto :
a, b  x  R / a  x  b
.Intervalo s semi - abertos :
a, b  x  R / a  x  b
a, b  x  R / a  x  b
Com relação a  devemos observar que é um símbolo e não um número.
 , a  x  R / x  a
 , a  x  R / x  a
a,    x  R / x  a
a,    x  R / x  a
Exemplos:
a) 2,5  é o conjunto de todos os números reais compreendidos entre 2 e 5, incluindo o 2 e não incluindo o 5.
b)  ,4  é o conjunto de todos os números reais menores que 4.
4
EXERCÍCIOS:
1) Sendo N o Conjunto dos Números Naturais, Z o conjunto dos Números Inteiros, Q o Conjunto dos Números Racionais
e R o conjunto dos Números Reais, associe V (verdadeiro) ou F (falso) para cada sentença abaixo:
(
)NQ
(
)ZQ
(
)0Q
(
)–3N
(
) 0  R*
(
) N = Z


2) Considerando o conjunto U =  1, 2, 0,
) 12  R
(
(
)
 25  R
3
8

, 5, ,  5, 17  , responda:
4
2

a) Quais são números naturais?
b) Quais são números inteiros?
c) Quais são números racionais?
d) Quais são números irracionais?
e) Quais são números reais?
3) Considerando o conjunto U do exercício anterior (nº 2), determinar os seguintes conjuntos:
a) A  x  U x  0
e) E  x  U 2 x  0
c) C  x  U 4  x  5
g) G  x  U x  1 e x  3
b) B  x  U x  0
f) F  x  U x  4
d) D  x  U x  1  2
h) H  x  U x  1
4) Descrever na notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
1,3
b) 0,2
a)
 ,4
c)
d) 1,
e) 7,9
f)
 ,0
5) Represente sobre a reta real:
1,3
b)  ,4
1,
d) 7,9
a)
c)
6) Represente na notação de intervalo:
a) x  R /  2  x  5
b) x  R / x  5
7) Resolva, em R, as equações:
a)  7.x  3  x.x  5  5  x  3
. x  2
b)
3x 2
5
 2x  x 2  x
8
6
7) Sejam A e B conjuntos não vazios. Definimos o produto cartesiano de A por B (A x B), por:
A x B  ( x, y ) / x  A e y  B. Logo, se A   2,0,1 e B  0,2, determine :
a) A x B
b) B x A
c) A²
d) B²
5
8) Dados os conjuntos A   2,1,0,1,2 e B  0,1,2,3,4, determine :


a) A relação R  ( x, y )  A x B / y  x 2 ;
b) A relação R  ( x, y )  A x B / y  2 x  1 ;
9) Sejam os conjuntos A  0,1,2 e B  0,2,3. Determine a relação R de A em B definida por x < y:
10) Verifique se as relações definidas nos exercícios 8 e 9 são funções, justificando a sua resposta:
11) Localize no plano cartesiano os seguintes pontos:
A(3, 2), B(0, –2), C(–3, –1), D(4, –3), E(0, 2), F(0, 4), G(–3, 0), H(4, 0) e I(0, 0).
y







x
























6