Gabarito - Mat. UFRGS

1-6
UFRGS – INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT01168 - Turma A - 2016/1
Prova da área IA
Nome:
• Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso
computacional ou de comunicação.
Identidades:
eix − e−ix
sen(x) =
2i
• Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido.
• Seja sucinto, completo e claro.
• Justifique todo procedimento usado.
Transformada
da derivada
Deslocamento
no eixo s
Deslocamento
no eixo t
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sen(x) sen(y)
Séries:
L {αf (t) + βg(t)} = αL {f (t)} + βL {g(t)}
L f ′ (t) = sL {f (t)} − f (0)
L f ′′ (t) = s2 L {f (t)} − sf (0) − f ′ (0)
L eat f (t) = F (s − a)
L {u(t − a)f (t − a)} = e
−as
F (s)
e−as
s
Z t
F (s)
f (τ )dτ =
L
s
0
L {u(t − a)} =
5
6
7
8
Transformada
da integral
Filtragem da
Delta de Dirac
Z
∞
10
11
Transformada de
funções periódicas
ex =
∞
X
x2
x3
xn
=1+x+
+
+ ··· ,
n!
2!
3!
n=0
ln(1 + x) =
∞
X
L {f (t)} =
Derivada da
transformada
1
1 − e−sT
L {tf (t)} = −
Integral da
transformada
L
f (t)
t
=
Z
−1 < x < 1
x2n+1
,
(2n + 1)!
∞
X
(−1)n
x2n
,
(2n)!
−∞ < x < ∞
x2n+1
,
(2n + 1)!
−∞ < x < ∞
n=0
senh(x) =
e−sτ f (τ )dτ
cosh(x) =
dF (s)
ds
x2n+1
,
2n + 1
∞
X
∞
X
x2n
,
(2n)!
n=0
(1 + x)m = 1 +
F (s)ds
−∞ < x < ∞
−1 < x < 1
(−1)n
n=0
0
(−1)n
n=0
cos(x) =
xn+1
,
n+1
∞
X
T
∞
∞
X
n=0
L {δ(t − a)} = e−as
Z
(−1)n
n=0
sen(x) =
L {(f ∗ g)(t)} = F (s)G(s),
Z t
f (τ )g(t − τ )dτ
onde (f ∗ g)(t) =
−1 < x < 1
∞
X
x
=
nxn = x + 2x2 + 3x3 + · · · , −1 < x < 1
2
(1 − x)
n=1
f (t)δ(t − a)dt = f (a)
−∞
0
9
∞
X
1
xn = 1 + x + x2 + x3 · · · ,
=
1−x
n=0
arctan(x) =
Transformada da
Delta de Dirac
Teorema da
Convolução
eix + e−ix
2
sen(x + y) = sen(x) cos(y) + sen(y) cos(x)
• Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela.
• Use notação matemática consistente.
Propriedades:
1
Linearidade
cos(x) =
ex − e−x
ex + e−x
cosh(x) =
2
2
∞ X
n!
n
n n−j j
=
a
b ,
(a + b)n =
j
j
j!(n
− j)!
j=0
Regras para as questões abertas:
4
Total
senh(x) =
• Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova.
3
8
Cartão:
Regras Gerais:
2
7
−∞ < x < ∞
−∞ < x < ∞
∞
X
m(m − 1) · · · (m − n + 1) n
x ,
n!
n=1
−1 < x < 1, m 6= 0, 1, 2, ...
s
Funções especiais:
Função Gamma
Γ(k) =
Z
∞
xk−1 e−x dx
0
Propriedade da
Função Gamma
Função de Bessel
modificada de ordem ν
Função de Bessel
de ordem 0
Integral seno
Γ(k + 1) = kΓ(k),
Γ(n + 1) = n!,
Iν (x) =
∞
X
m=0
k>0
n∈N
x 2m+ν
(−1)m
m!Γ(m + ν + 1) 2
J0 (x) =
∞
X
(−1)m x 2m
m!2
2
m=0
Si (t) =
Z
t
0
sen(x)
dx
x
Integrais:
eλx
(λx − 1) + C
λ2
2
Z
x
2x
2
x2 eλx dx = eλx
− 2 + 3 +C
λ
λ
λ
Z
Z
1
n
xn eλx dx = xn eλx −
xn−1 eλx dx + C
λ
λ
Z
cos (λ x) + λx sen (λ x)
+C
x cos (λ x) dx =
λ2
Z
sen (λ x) − λx cos (λ x)
x sen (λ x) dx =
+C
λ2
Z
xeλx dx =
Tabela de transformadas de Laplace:
F (s) = L{f (t)}
1
s
1
s2
1
2
3
1
,
sn
1
(n = 1, 2, 3, ...)
1
√ ,
s
4
1
5
s2
6
1
,
sk
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1
,
(s − a)n
(k > 0)
1
s−a
1
(s − a)2
(n = 1, 2, 3...)
1
,
(s − a)k
(k > 0)
1
,
(s − a)(s − b)
(a 6= b)
s
,
(s − a)(s − b)
(a 6= b)
1
s2 + w 2
s
s2 + w 2
1
s2 − a2
s
s2 − a2
1
(s − a)2 + w 2
s−a
(s − a)2 + w 2
1
+ w2 )
s(s2
s2 (s2
1
+ w2 )
31
tn−1
(n − 1)!
32
36
teat
37
1
tn−1 eat
(n − 1)!
38
43
cosh(at)
√
s
,
π
Γ(k)
t
2a
k− 1
2
Ik− 1 (at)
2
√
J0 (2 kt)
√
1
√ cos(2 kt)
πt
√
1
√ senh(2 kt)
πt
k2
k
√
e− 4t
3
2 πt
(k > 0)
− ln(t) − γ,
(γ ≈ 0, 5772)
1 bt
e − eat
t
2
(1 − cos(wt))
t
2
(1 − cosh(at))
t
1
sen(wt)
t
Si (t)
Onda quadrada
as 1
tanh
s
2
44
f (t) =
1,
−1,
0<t<a
a < t < 2a
f (t + 2a) = f (t), t > 0
eat cos(wt)
Onda triangular
1
(1 − cos(wt))
w2
1
(wt − sen(wt))
w3
1
(cos(at) − cos(bt))
b2 − a2
1
(s4 + 4a4 )
1
[sen(at) cosh(at)−
4a3
− cos(at) senh(at)]
26
s
(s4 + 4a4 )
1
sen(at) senh(at))
2a2
27
1
(s4 − a2 )
1
(senh(at) − sen(at))
2a3
s
− a4 )
√
(k > 0)
1
ln(s)
s
s−a
ln
s−b
2
s + w2
ln
s2
2
s − a2
ln
s2
w
tan−1
s
1
−1
cot (s)
s
1 at
e sen(wt)
w
1
(sen(wt) + wt cos(wt))
2w
(s4
1
√ eat (1 + 2at)
πt
3
a) 2
1
senh(at)
a
25
28
e−k
41
cos(wt)
J0 (at)
1 −k
(k > 0)
e s,
s
k
1
√ e− s
s
1 k
es
3
s2
40
42
1
√
(ebt − eat )
2 πt3
−(a+b)t
a−b
2
I0
e
t
2
1
√
s+a s+b
1
√
s2 + a2
s
1
,
(s2 − a2 )k
39
1
sen(wt)
w
s2
+ w 2 )2
(a2 6= b2 )
34
eat
1
(sen(wt) − wt cos(wt))
2w 3
t
sen(wt)
2w
s
,
(s2 + a2 )(s2 + b2 )
33
35
1 k−1 at
t
e
Γ(k)
1 at
e − ebt
a−b
1 at
ae − bebt
a−b
√
(s −
tk−1
Γ(k)
1
(s2 + w 2 )2
s
(s2 + w 2 )2
(s2
30
t
1
√
πt
r
t
2
π
,
3
29
f (t) = L−1 {F (s)}
f (t) = L−1 {F (s)}
F (s) = L{f (t)}
√
√
s−a− s−b
1
(cosh(at) − cos(at))
2a2
as 1
tanh
as2
2
45

t

 ,
a
f (t) =
t

 − + 2,
a
0<t<a
a < t < 2a
f (t + 2a) = f (t), t > 0
Retificador de meia onda
46
(s2
+
w2 )
w
π
1 − e− w s
f (t) =
f
47
πs w
coth
s2 + w 2
2w

π

sen(wt), 0 < t <


w
2π
π
<t<
w
w


 0,
t+
2π
w
= f (t), t > 0
Retificador de onda completa
f (t) = | sen(wt)|
Onda dente de serra
48
e−as
1
−
as2
s (1 − e−as )
f (t) =
t
,
a
0<t<a
f (t) = f (t − a), t > a
• Questão
2
( ) 3
s
2
( ) 3 e−2s
s
2
( )
+
s3
2
(X)
+
s3
2
( )
+
s3
1 (1.0 ponto) A transformada de Laplace da função t2 u(t − 2) é
4
s2
e−2s
4
4 −2s
e
+
s2 s
4
4
+ + 1 e−2s
s2 s
• Questão 2 (1.0 ponto) A transformada de Laplace da função
1
s−1
( ) ln
2
s+1
1
s+1
(X) ln
2
s−1
s+1
( ) ln
s−1
senh(t)
é
t
1
e−s
−1
1 1
( )
s s2 − 1
• Questão 3 (1.0 ponto) Sabendo que L{f (t)} = F (s) é correto afirmar que
( )
s2
d2 F (s)
( )
= s2 L{f (t)}
2
ds
2
d F (s)
( )
= −s2 L{f (t)}
ds2
d2 F (s)
( )
= −L{tf (t)}
ds2
d2 F (s)
= −L{t2 f (t)}
( )
ds2
d2 F (s)
(X)
= L{t2 f (t)}
2
ds
2
d F (s)
( )
= L{f ′′ (t)}
ds2
• Questão 4 (1.0 ponto) Considere a função f : R+ → R dada no gráfico abaixo:
f (t)
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
t
A transformada de Laplace da função f (t) é
−e−s + e−2s + e−3s − e−5s
( )
s2
−e−s + e−2s + e−3s − e−5s
( )
s
−s
−2s
s − e + e + e−3s − e−5s
(X)
s2
1 − e−s + e−2s + e−3s − e−5s
( )
s2
1 − e−s + e−2s + e−3s − e−5s
( )
s
• Questão 5 (1.0 pontos) Dado que f (t) satisfaz a equação
Z t
t
f (t) + e
e−τ f (τ )dτ = senh(t)
0
então a transformada de Laplace de f é
1
(X) F (s) =
s(s + 1)
1
( ) F (s) =
(s − 1)2 + 1
1
( ) F (s) =
s(s − 1)
1
( ) F (s) = 2
s −1
1
( ) F (s) = 2
s +1
1
( ) F (s) =
s−1
a + bs
para constantes a e b reais,
s2 + cs + d
c ≥ 0, k ≥ 0 e d > 0. Marque qual gráfico abaixo certamente NÃO pode representar a transformada
inversa da função F (s).
( )
( )
( )
f (t)
f (t)
f (t)
• Questão 6 (1.0 ponto) Considere a função F (s) = e−sk
2
2
2
1
1
1
0
1
2
0
t
3
1
−1
( )
2
0
t
3
1
−1
( )
f (t)
f (t)
f (t)
2
2
1
1
1
1
−1
2
3
t
0
1
−1
t
3
−1
(X)
2
0
2
2
3
t
0
1
−1
2
3
4
t
• Questão 7 (2.0 ponto) Considere as funções f (t) = tu(t) + (2 − 2t)u(t − 1) + (t − 3)u(t − 3) e
g(t) = tu(t) + (2 − 2t)u(t − 1) + (t − 2)u(t − 3)
a) (1.0 pontos) Esboce os gráficos de f , g, f ′ e g ′ .
b) (1.0 pontos) Calcule L{f (t)}, L{f ′(t)}, L{g(t)} e L{g ′(t)}.
Solução: a)
f ′ (t)
f (t)
2
2
1
1
0
1
2
3
4
t
−1
0
1
2
3
4
t
1
2
3
4
t
−1
g ′(t)
g(t)
2
2
1
1
0
1
2
3
4
−1
t
0
−1
b)
1 − 2e−s + e−3s
s
1 − 2e−s + e−3s
L{f (t)} =
s2
−s
1 − 2e + e−3s + se−3s
L{g ′(t)} =
s
−s
1 − 2e + e−3s + se−3s
L{g(t)} =
s2
• Questão 8 (2.0 ponto) Considere o oscilador harmônico
 ′′
 y + 4y = sen(w0 t)
y(0) = 0
 ′
y (0) = 0
L{f ′ (t)} =
onde w0 é uma constante positiva.
a) (1.0 pontos) Resolva o problema de valor inicial para w0 = 2.
b) (1.0 pontos) Resolva o problema de valor inicial para w0 6= 2.
Solução: a) Usamos a transformada de Laplace para resolver o PVI:
s2 Y (s) − sy(0) − y ′(0) + 4Y (s) =
s2
2
+4
⇓
Y (s) =
(s2
2
+ 4)(s2 + 4)
(s2
2
+ 4)2
⇓
Y (s) =
Pelo item 21 da tabela, temos:
y(t) =
1
(sen(2t) − 2t cos(2t))
8
b) Usamos a transformada de Laplace para resolver o PVI com w0 6= 2:
s2 Y (s) − sy(0) − y ′(0) + 4Y (s) =
⇓
Y (s) =
s2
w0
+ w02
w0
(s2 + 4)(s2 + w02 )
⇓
Y (s) =
1
w0
2
w0
+
2
2 2
2
2(w0 − 4) s + 4 4 − w0 s + w02
Pelo item 21 da tabela, temos:
y(t) =
w0
1
sen(w0 t)
sen(2t) +
2
2(w0 − 4)
4 − w02