SOLUÇÃO
FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA ELEMENTAR 1
CONJUNTOS E FUNÇÕES
ÿ Cirlei Xavier
Bacharel e Mestre em Física
pela Universidade Federal da Bahia
Maracás Bahia
Maio de 2017
Sumário
1
Noções de Lógica
1.1 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Conjuntos
2.1 EXERCÍCIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
3
7
7
Sumário
Conjuntos e Funções b
2
m
ÿ Cirlei Xavier
Capítulo 1
Noções de Lógica
1.1
EXERCÍCIOS
A proposição ∼ p tem sempre o valor oposto de p, isto é, ∼ p é verdadeira quando p é
falsa e ∼ p é falsa quando p é verdadeira.
1. Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições, quais são verdadeiras?
a) 5 · 4 = 20
b) 5 − 4 = 3
c) 2 + 7 · 3 = 5 · 4 + 3
d) 5(3 + 1) = 5 · 3 + 5 · 1
e) 1 + 3 , 1 + 6
f) (−2)5 > (−2)3
g) 3 + 4 > 0
h) 11 − 4 · 2
São proposições: a, b, c, d, e, f, g.
São verdadeiras: a, c, d, e, g.
Observe:
a) Cinco vezes quatro é igual a vinte (verdadeira).
b) Cinco menos quatro é igual a três (falsa).
c) Dois mais sete vezes três é igual a cinco vezes quatro mais três (verdadeira).
d) Cinco vezes, abre parêntese, três mais um, fecha parêntese, é igual a cinco vezes três
mais cinco vezes um (verdadeira).
e) Um mais três é diferente de um mais seis (verdadeira).
f) Menos dois elevado a quinta potência é maior ou igual a menos dois elevado a terceira
potência (falsa).
g) Três mais quatro é maior que zero (verdadeira)
h) Onze menos quatro vezes dois (não é proposição).
2. Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras?
7 3
1
1
<
e)
2
√2
f) 2 < 1
g) −(−4) > 7
h) 3 | 7
a) 3 · 7 = 21
b) 3 · (11 − 7) , 5
c) 3 · 2 + 1 > 4
d) 5 · 7 − 2 6 5 · 6
3
Capítulo 1.
Noções de Lógica
4
Observe:
a) p : Três vezes sete é igual a vinte e um (verdadeira).
∼ p : Três vezes sete é diferente de vinte e um, 3 · 7 , 21 (falsa)
b) p : Três vezes, abre parêntese, onze menos sete, fecha parêntese, é diferente de cinco
(verdadeira).
∼ p : Três vezes, abre parêntese, onze menos sete, fecha parêntese, é igual a cinco,
3 · (11 − 7) = 5 (falsa).
c) p : Três vezes dois mais um é maior que quatro (verdadeira).
∼ p : Três vezes dois mais um é menor ou igual a quatro, 3 · 2 + 1 6 4 (falsa).
d) p : Cinco vezes sete menos dois é menor ou igual a cinco vezes seis (falsa).
∼ p : Cinco vezes sete menos dois é maior que cinco vezes seis, 5 · 7 − 2 > 5 · 6 (verdadeira).
e) p : Um dividido por dois, tudo elevado a sete, é menor que um dividido por dois, tudo
elevado a três (verdadeira).
∼ p : Um dividido por dois, tudo elevado a sete, é maior que um dividido por dois, tudo
7 3
1
1
>
(falsa).
elevado a três,
2
2
f) p : A raiz quadrada de dois é menor que um (falsa).√
∼ p : A raiz quadrada de dois é maior ou igual a um, 2 > 1 (verdadeira).
g) p : Menos um vezes menos quatro é maior ou igual a sete (falsa).
∼ p : Menos um vezes menos quatro é menor ou igual a sete, −(−4) < 7 (verdadeira).
h) p : Três é divisor de sete (falsa).
∼ p : Três não é divisor de sete, 3 - 7 (verdadeira).
A conjunção p ∧ q é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for
falsa, então p ∧ q é falsa.
A disjunção p ∨ q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se
p e q são ambas falsas, então p ∨ q é falsa.
3. Classifique em verdadeiras ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:
1 3
< ou 5|11
2 4
f) (−1)6 = −1 e 25 < (−2)7
√
g) 16 = 6 ou mdc(4, 7) = 2
a) 3 > 1 e 4 > 2
b) 3 > 1 ou 3 = 1
c) 2|4 ou 2|(4 + 1)
d) 3(5 + 2) = 3 · 5 + 3 · 2 e 3|7
e)
a) p : 3 > 1 (verdadeira) e q : 4 > 2 (verdadeira), então: p ∧ q : 3 > 1 e 4 > 2 (verdadeira).
b) p : 3 > 1 (verdadeira) ou q : 3 = 1 (falsa), então: p ∨ q : 3 > 1 ou 3 = 1 (verdadeira).
c) p : 2|4 (verdadeira) ou q : 2|(4 + 1) (falsa), então: p ∨ q : 2|4 ou 2|5 (verdadeira).
d) p : 3(5 + 2) = 3 · 5 + 3 · 2 (verdadeira) e q : 3|7 (falsa), então: p ∧ q : 21 = 21 e 3|7 (falsa).
1 3
e) p : < (verdadeira) ou q : 5|11 (falsa), então: p ∨ q : 0, 5 < 0, 75 ou 5|11 (verdadeira).
2 4
f) p : (−1)6 = −1 (falsa) e q : 25 < (−2)7 (falsa), então: p ∧ q : 1 = −1 e 32 < −128 (falsa).
Conjuntos e Funções b
m
ÿ Cirlei Xavier
1.1. EXERCÍCIOS
5
√
g) p : 16 = 6 (falsa) ou q : mdc(4, 7) = 2 (falsa), então: p ∨ q : 4 = 6 ou 1 = 2 (falsa).
O condicional p → q é falso somente quando p é verdadeira é q é falsa; caso contrário,
p → q é verdadeiro.
O condicional ↔ é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas
falsas; se isso não acontecer, o condicional ↔ é falso.
4. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo.
a) 2 − 1 = 1 → 5 + 7 = 3 · 4
b) 22 = 4 ↔ (−2)2 = 4
c) 5 + 7 · 1 = 10 → 3 · 3 = 9
d) mdc(3, 6) = 1 ↔ 4 é número primo
e) 2|8 → mmc(2, 8) = 2
f) 6 6 2 ↔ 6 − 2 > 0
3 2
g) < → 3 · 7 = 2 · 5
5 7
5. Admitindo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (V ou F) de cada
proposição abaixo.
a) p → r
b) p ↔ q
c) r → p
d) (p ∨ r) ↔ q
e) p → (q → r)
f) p → (q ∨ r)
g) ∼ p ↔∼ q
h) ∼ p ↔ r
6. Sendo a proposição p → (r ∨ s) falsa e a proposição (q∧ ∼ s) ↔ p verdadeira, classifique
em verdadeira ou falsa as afirmações p, q, r e s.
ÿ Cirlei Xavier
m
Conjuntos e Funções b
Capítulo 1.
Noções de Lógica
Conjuntos e Funções b
6
m
ÿ Cirlei Xavier
Capítulo 2
Conjuntos
2.1
EXERCÍCIOS
11.
7
