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Seis forças de mesmo módulo F atuam sobre um sólido segundo
os lados de um hexágono regular de lado L. Calcule o momento destas
forças em relação ao eixo que passa pelo centro e perpendicular ao
sólido.
Dados do problema
•
•
comprimento do lado do sólido:
módulo da força que atua no sólido:
L;
F.
Esquema do problema
Adotamos um sistema de referência no eixo que passa pelo centro do sólido e
perpendicular a este com sentido positivo anti-horário (figura 1-A).
Como o sólido é um hexágono regular ele pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros
de lados L e ângulos θ (figura 1-B).
figura 1
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, então um ângulo mede
o
180
θθθ = 180 o ⇒ 3 θ = 180 o ⇒ θ =
⇒ θ = 60 o (figura 1-C).
3
Solução
O momento de uma força é dado por
MF=Fd
(I)
Em um dos triângulos em que se divide o sólido traçamos uma semi-reta auxiliar r do
centro do hexágono e perpendicular ao lado deste (forma um ângulo de 90o). Como os
triângulos são equiláteros esta reta divide o ângulo central do triângulo em dois ângulo iguais
(bissetriz) e também divide o lado do sólido em dois segmentos iguais (mediana), assim
obtemos a altura do triângulo que é a distância (h) do centro ao lado onde é aplicada uma força
(figura 2).
figura 2
1
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Usando o Teorema de Pitágoras determina-se a distância da força ao centro do sólido
(altura do triângulo)
 
L
2
L2
L 2 = h 2
4
2
L
2
2
h =L −
4
2
2
2
L =h 
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 1 e 4 é 4, então
2
4 L −L
4
2
3L
2
h =
4
3L 2
h=
4
3

h= L
2
h2 =
2

Observação: poderíamos obter o mesmo resultado calculando o co-seno do ângulo de 30 o na
figura 1
o
cos 30 =
o
cateto adjacente h
=
hipotenusa
L
lembrando da Trigonometria que cos30 =
3
, temos
2
3
2
h=
=
3
2
h
L
L
Como no ponto médio do lado do hexágono a força é perpendicular à distância ao
3
centro o momento da força será dado pela expressão (I), onde d = h = L
2
MF=FL
3
2
(II)
Sendo que o momento total é dado pela somatória dos momentos de todas as seis
forças que atuam no corpo, obtemos
6
M = ∑M Fk
k =1
M = M F 1 M F 2 M F 3M F 4 M F 5M F 6
como o sólido é simétrico e todas as forças são de igual módulo, seus momento também são
iguais
M =6MF
substituindo (II) em (III), temos finalmente
2
(III)
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M = 6.
3
2
FL
M =3  3 FL
3