Os pólos de um ímã
Há séculos, o homem observou que determinadas
pedras têm a propriedade de atrair pedaços de
ferro ou interagir entre si. Essas pedras foram
chamadas de ímãs e os fenômenos, que de modo
espontâneo se manifestam na Natureza, foram
denominados fenômenos magnéticos.
Um ímã em forma de barra tem dois pólos: sul e
norte, em torno dos quais há um campo
magnético. Os ímãs podem ser permanentes ou
temporários e os materiais utilizados em cada tipo
diferem entre si. Um material ferromagnético pode
ser transformado em um ímã quando colocado na
parte central de uma bobina elétrica ou solenóide,
ao se passar uma corrente de grande intensidade
através do enrolamento.
Os pólos de um ímã
De acordo com a composição, o material
receberá seu magnetismo depois que a
corrente tiver sido cortada. Ímãs
permanentes são fabricados a partir de
materiais duros tais como aço, níquel e
cobalto. Alguns materiais retêm pouco ou
nenhum magnetismo após a corrente ter
sido cortada.
Ao tentarmos aproximar o pólo norte de
um ímã do pólo norte de outro ímã,
notaremos que haverá uma força
magnética de repulsão entre esses pólos.
Os pólos de um ímã
Do mesmo modo, notaremos que há uma
força de repulsão entre os pólos sul de
dois ímãs, enquanto que entre o pólo sul
e norte haverá uma força de atração
magnética. Resumindo: Pólos magnéticos
de mesmo nome se repelem e pólos
magnéticos de nomes diferentes se
atraem.
Os pólos de um ímã são inseparáveis. Se
você quebrar ao meio um ímã em forma
de barra, as duas metades obtidas serão
ímãs completos. Por mais que você
quebre, nunca obterá um ímã com um
único pólo.
A experiência de Oersted
Até o ano de 1820, os cientistas pensavam que
os fenômenos elétricos e magnéticos eram
totalmente independentes, isto é, que não havia
qualquer relação entre eles. Nesse ano, o físico
dinamarquês Hans Christian Oersted, professor
da Universidade de Copenhague, realizou uma
experiência que se tornou famosa por alterar
completamente essas idéias:
- Um fio retilíneo (no qual não havia corrente
elétrica) foi colocado próximo a uma agulha
magnética, orientada livremente na direção
norte-sul;
- Fazendo-se passar uma corrente no fio,
observou-se que a agulha se desviava;
- Interrompendo-se a corrente no fio, a agulha
voltava a se orientar na direção norte-sul.
A experiência de Oersted
Portanto, a corrente elétrica no fio atuou
sobre a agulha magnética de maneira
semelhante a um ímã que fosse colocado
próximo à agulha. Em outras palavras, a
corrente elétrica estabeleceu um campo
magnético no espaço em torno dela, e esse
campo foi o agente responsável pelo desvio
da agulha magnética. Como já sabemos que
a corrente elétrica é constituída por cargas
elétricas em movimento, podemos tirar a
seguinte conclusão: cargas elétricas em
movimento (corrente elétrica) criam, no
espaço em torno delas, um campo
magnético.
Campo magnético estacionário
Introdução
O campo magnético é capaz de exercer
forças não apenas sobre ímãs, mas
também sobre condutores percorridos por
correntes elétricas.
A força gerada é a soma das pequenas
forças que o campo magnético exerce
sobre cada elétron em movimento. Não é,
porém, necessário que os elétrons
estejam dentro do fio para que sofram a
ação do campo magnético. Isso também
ocorre quando eles estão no exterior e se
movem livremente.
Campo magnético estacionário
Introdução
Em geral, cada partícula carregada e em
movimento sofre a ação de uma força
exercida pelo campo magnético. Essa
força é grande quando a partícula se
desloca perpendicularmente às linhas de
campo, e é igual a zero quando a partícula
se move na mesma direção do campo
magnético. A direção da força é
perpendicular tanto à direção do
movimento como à do campo magnético.
Campo magnético estacionário
Introdução
A força que um campo magnético exerce
sobre um condutor percorrido por
corrente pode ser utilizada para realizar
trabalho. É o que ocorre nos motores
elétricos, que transformam energia
elétrica em energia mecânica. Essa força
também é usada para fazer funcionar uma
grande variedade de aparelhos elétricos
de medida, como amperímetros e
voltímetros.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Fontes de um campo magnético:
- Imã permanente;
- Campo elétrico variável linearmente no tempo;
- Corrente contínua.
A intensidade de campo
magnético dH produzido por um
elemento diferencial de corrente
I1dL1 é dada pela Lei de Biot-Savart.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Em um ponto P qualquer no espaço, a intensidade do campo magnético
produzido por um elemento diferencial de corrente é proporcional ao produto
da corrente pela magnitude do comprimento diferencial e pelo seno do ângulo
entre o filamento e
linha que conecta o
filamento do ponto
P, onde o campo
está sendo medido.
IdL × a R
dH =
A/ m
2
4πR
IdL1 × a R12
∴ dH 2 =
4πR12 2
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
A Lei de Biot-Savart guarda certa semelhança
com a Lei de Coulomb:
∴dE2 =
dQ1 ⋅ aR12
2
4πε0 R12
Principal diferença:
Direção do campo.
A Lei de Biot-Savart também é conhecida como Lei de Ampère
para o elemento de corrente.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Pela equação da continuidade corrente, tem-se:
∂ρ v
∇.J = −
∂t
Como a corrente é constante,
∇.J = 0
e, pelo Teorema da Divergência,
∫ J ⋅ dS = 0
S
A corrente acima é nula, já que atravessa
uma superfície fechada, e será a fonte do
campo magnético em estudo.
A Lei de Biot-Savart só poderá ser verificada
experimentalmente na forma integral em uma
superfície fechada, isto é:
H =
∫
Id L × a R
4π R 2
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
O campo magnético produzido pela corrente elétrica em
um fio retilíneo depende basicamente de dois fatores: da
intensidade da corrente e da distância ao fio. Quanto
maior for o valor da corrente, maior será o campo
magnético criado por ela. Por outro lado, quanto maior
for a distância ao fio, menor será o valor do campo
magnético. As linhas do campo magnético são
circulares, centradas no fio.
O sentido das linhas de campo magnético pode ser
obtido pela regra da mão direita: segure o condutor com
a sua mão direita, de maneira que o dedo polegar aponte
o sentido da corrente. Os seus dedos apontarão no
sentido das linhas de campo.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Se o condutor tiver forma circular, ele se
denomina uma espira. O campo magnético no
centro de uma espira, depende do raio do
círculo e da intensidade da corrente elétrica.
Quanto maior a corrente, maior o valor do
campo. Quanto maior o raio da espira, menor o
valor do campo.
Observe que as linhas de indução se
concentram no interior do círculo e continua
valendo a regra da mão direita para a
determinação do seu sentido.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Uma bobina, ou solenóide, é constituída por um fio
enrolado várias vezes, tomando uma forma
cilíndrica. Cada uma das voltas do fio da bobina é
uma espira.
Ligando-se as extremidades da bobina a uma
bateria, isto é, estabelecendo-se uma corrente em
suas espiras, essa corrente cria um campo
magnético no interior do solenóide. Seu valor, ao
longo do eixo central, depende da intensidade da
corrente elétrica, do número de espiras e do
comprimento do solenóide.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Para saber qual das extremidades de um solenóide
é o pólo norte, você pode aplicar a regra da mão
direita, da mesma maneira que fez com o fio
condutor e com a espira.
A intensidade de um eletroímã depende também do
facilidade com que o material em seu interior é
magnetizado. A maior parte dos eletroímãs são
feitos de ferro puro, que se magnetiza facilmente.
Os eletroímãs são utilizados nas campainhas
elétricas, telégrafos, telefones, amperímetros,
voltímetros, etc.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Linhas de fluxo
magnético em torno de
um filamento
infinitamente longo.
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
A Lei de Biot-Savart pode ser expressa em função da Densidade
de Corrente (J) e da Densidade de Corrente de Superfície (K).
A corrente de superfície flui
em uma camada infinitesimal
do condutor. Neste caso, a
densidade J tende a infinito.
A densidade de corrente de
superfície (K) é medida em
ampères por metro, na
direção transversal (dN) ao
sentido da corrente:
dI
K=
dN
⇒ I = ∫ KdN
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
O elemento diferencial de
corrente I.dL, na direção da
corrente, pode, portanto ser
expresso em termos de J e
K:
IdL = KdS = Jdv
A Lei de Biot-Savart transforma-se em:
H =
∫
S
K × a R dS
4π R 2
e
H =
∫
vol
J × a R dv
4π R 2
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
Campo magnético devido a um
filamento retilíneo percorrido por
uma corrente constante.
Não há variação em z nem em φ.
Tem-se, ainda, que:
R12 = ρa ρ − za z
∴ a R12 =
ρa ρ − za z
2
ρ +z
2
Campo magnético estacionário
Lei de Biot-Savart
d L = ρ a ρ + ρd φ a φ + dz a z
∴ dH 2 =
H2 =
∫
Idz a z × (ρ a ρ − z a z )
4 π (ρ + z )
+ ∞ Idz a z × ( ρ a ρ − z a z )
−∞
I
H2 =
4π
2 3/2
2
4 π (ρ + z
+∞
ρ dz a φ
2
∫ (ρ
)
2 3/2
+z )
Integrando - se em z, tem - se φ constante.
⇒ H2 =
−∞
2 3/2
2
Iρ aφ
4π
+∞
z
ρ
2
ρ +z
2
=
2
−∞
I
2 πρ
aφ
Exercício 8.1
(a) Determinar o vetor campo magnético (H) em componentes
cartesianas no ponto P(2 ; 3 ; 4) devido a um filamento conduzindo
uma corrente de 8 mA no eixo z, na direção az.
(b) Repetir o item a para um filamento localizado em x = - 1 e y = 2.
(c) Encontrar o valor de H se ambos os filamentos estiverem presentes.
Campo magnético estacionário
Lei (Circuital) de Ampère
As aplicações da Lei de Biot-Savart que envolvem alto grau de simetria
podem ser mais facilmente resolvidas pela Lei Circuital de Ampère.
Condutor atravessado por
uma corrente total I.
A Lei de Ampère estabelece
que a integral de linha de um
campo magnético em qualquer
percurso fechado é igual à
corrente enlaçada pelo
percurso.
A integral no percurso c é
menor que I, visto que a
corrente total não é enlaçada
pelo caminho.
∫ H.dL = I
Campo magnético estacionário
Lei (Circuital) de Ampère
Retornando à situação de um filamento infinitamente longo
atravessado por uma corrente, coincidindo com o eixo z, tem-se
que o deslocamento da corrente se dá na direção definida por az.
O campo magnético devido à corrente está em plano
perpendicular ao filamento. Logo, não possui variação em z.
Além disso, as linhas que definem o campo magnético são
circulares, o que indica que não há variação, também, em φ.
Podemos aplicar a Lei Circuital de Ampère supondo um
deslocamento dL igual a ρdφ, conforme se segue, observando que
o campo magnético possui apenas componente em φ.
Campo magnético estacionário
Lei (Circuital) de Ampère
∫ H.dL = ∫
2π
0
H φ ρ d φ =H φ ρ ∫
2π
0
∴ Hφ =
1
2πρ
d φ =H φ 2πρ = I
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial
Seção reta de um cabo coaxial com uma corrente constante I no condutor
interno e – I no condutor externo, ambas uniformemente distribuídas. Os
filamentos de corrente produzem componentes de H em ρ e φ, que se
cancelam. Não existem componentes de H na direção z.
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial
Para ρ maior que o raio a
do condutor interno e
menor que o raio b do
condutor externo, temos
que a corrente enlaçada é:
Hφ =
Para ρ menor que o raio a
do condutor interno, a
corrente enlaçada será:
2
I enl
I
2πρ
2
( a < ρ < b)
πρ
ρ
Iρ
= I 2 = I 2 ⇒ Hφ =
2
a
πa
2πa
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial
Se ρ for maior que o raio c
do condutor externo, a
corrente será igual a zero.
Hφ = 0 ( ρ > c)
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial
Se o percurso estiver dentro
do condutor externo, a
corrente atravessa a região
cujo raio está definido por
b<ρ<c será a total menos a
corrente correspondente à
região cujo raio está definido
por ρ>b, isto é:
I−I
ρ −b
2
2
⇒ H φ 2πρ = I − I
c −b
2
2
I c −ρ
∴ Hφ =
2
2
2πρ c − b
2
2
ρ −b
2
c −b
2
(b < ρ < c )
2
2
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um cabo coaxial
Variação do campo magnético em um cabo coaxial,
em função do raio.
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme
Densidade de corrente de superfície
Hipótese: a corrente de retorno estará dividida entre duas lâminas
eqüidistantes da lâmina acima.
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme
Fatos:
1)
4)
Como a corrente está na
direção de y, não há
componente Hy;
2) Como a corrente de retorno é
suposta simétrica em relação à
lâmina, as componentes Hz se
cancelam;
3) Só há a componente Hx.
O percurso de integração escolhido é 1-1’-2’-2-1, cujos segmentos
são paralelos ou perpendiculares a Hx.
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme
Aplicando a Lei Circuital de Ampère
ao percurso de integração teremos:
H x1 L + H x 2 ( − L ) = K y L
∴ H x1 − H x 2 = K y
Aplicando a mesma Lei, agora ao percurso de integração 3-3’-2’-2-3, vem:
H x 3 − H x 2 = K y ⇒ H x 3 = H x1
Portanto, Hx é o mesmo, tanto para valores positivos quanto negativos
de z, porém simétricos.
1
Hx = Ky, z > 0
2
1
Hx = − Ky, z < 0
2
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a uma lâmina uniforme
Em termos genéricos, e
considerando o vetor unitário
aN perpendicular à lâmina,
podemos escrever, para
qualquer valor de z:
1
H = K × aN
2
Supondo a existência de uma segunda lâmina em z = h, paralela à primeira e
com corrente fluindo no sentido contrário, isto é, K = - Kyay, a expressão
anterior indica que o campo na região entre ambas as lâminas será:
H = K × aN
(0 < z < h )
e
H = 0 ( z < 0, z > h )
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um solenóide
Solenóide ideal de comprimento
infinito, com uma lâmina circular
de corrente K = Kφaφ.
Solenóide real de comprimento
finito d, com N espiras.
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um solenóide
Para um solenóide real de comprimento finito d, com N espiras, percorrido
por uma corrente filamentar I, o valor do campo magnético para pontos no
interior do solenóide, pode ser obtido pela fórmula aproximada:
NI
H=
az
d
A fórmula acima não é valida para
pontos mais próximos da
superfície do solenóide do que
duas vezes a separação entre as
espiras, nem para pontos mais
próximos das extremidades do que
duas vezes o raio do solenóide..
Campo magnético estacionário
Lei Circuital de Ampère aplicada a um toróide
Toróide ideal com uma corrente
superficial K.
Toróide real com N espiras,
percorrido por uma corrente I.
Para fórmulas mais precisas e mais abrangentes sobre solenóides,
toróides e espiras de formas diversas, consultar:
Standard Handbook for Electrical Engineers.
Campo magnético estacionário
Aplicando-se a Lei Circuital de
Ampère aos 4 lados do
percurso incremental ao lado,
tem-se:
lim
∫ H ⋅ dL = ∂H
lim
∫ H ⋅ dL = ∂H
lim
∫
∆x⋅∆y →0
∆y⋅∆z →0
∆z⋅∆x →0
∆x.∆y
∆y.∆z
H ⋅ dL
∂H x
= Jz
−
∂y
∂x
∂y
y
z
−
∂H y
∂z
= Jx
∂H x ∂H z
= Jy
−
=
∂x
∂z
∆z . ∆x
Campo magnético estacionário
A combinação das 3 equações anteriores gera o elemento denominado
rotacional. O rotacional de qualquer vetor é um vetor. Em termos
matemáticos, tem-se:
(rot H )n =
lim
∆Sn →0
∫ H ⋅ dL
∆S n
∂H z ∂H y
∴ rot H =
−
∂z
∂y
∴ rot H = ∇ × H
∂H x ∂H z
a x +
−
∂x
∂z
∂H y ∂H x
−
a y +
∂y
∂x
a z
Campo magnético estacionário
Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes
define a equivalência
entre a integral de um
campo vetorial ao longo
de uma curva fechada
formada por elementos
dL e a integral do
rotacional do referido
campo na superfície dS,
limitada pelo percurso
formado pelos elementos
dL. Por extensão ao
campo magnético, temos:
∫ H ⋅ dL ≡ ∫ ( ∇ × H )idS
S
Campo magnético estacionário
Fluxo Magnético
O Fluxo Magnético Φ, semelhantemente ao fluxo elétrico, pode ser
considerado como uma grandeza associada ao número de linhas
que atravessa uma superfície. Analogamente, podemos definir a
Densidade de Fluxo Magnético B, como sendo a relação
B = µH
sendo µ a permeabilidade do meio.
O Fluxo Magnético Φ, é medido em
weber (Wb), enquanto a Densidade de
Fluxo Magnético B é medida em weber
por metro quadrado (Wb/m2), ou tesla
(T). µ é definido em henry por metro
(H/m).
Para o vácuo, µ0 = 4π x 10-7 H/m.
Campo magnético estacionário
Fluxo Magnético
As relações B = µH e D = εE permitem que se estabeleça uma analogia
entre os campos elétrico e magnético. O Fluxo Magnético Φ, pode ser
escrito como:
Φ = ∫ BidS Wb, valendo lembrar que Ψ= ∫ DidS C
S
S
As linhas de fluxo magnético não terminam em uma “carga magnética”.
Assim, a Lei de Gauss para o campo magnético é expressa por:
Φ= ∫ BidS=0
S
Logo, pelo Teorema da Divergência,
∇iB=0
Campo magnético estacionário
Equações de Maxwell
As Equações de Maxwell podem agora ser resumidas pela tabela abaixo:
Forma diferencial
∇iD = ρv
Forma integral
∫
S
DidS=Q=∫ ρv dv
vol
∫ EidL=0
∇ ×E = 0
∇ ×H = J
∇iB = 0
∫ HidL=I=∫
S
∫
S
JidS
BidS = 0
Campo magnético estacionário
Potenciais magnéticos escalar e vetorial
Foi visto anteriormente que um campo elétrico pode ser obtido a partir
do potencial elétrico, mediante a relação:
E = −∇V
Partindo da hipótese que é possível definir um potencial magnético,
com analogia ao campo elétrico, tem-se:
H = −∇Vm
O potencial magnético só tem significado físico em Física Quântica.
No eletromagnetismo clássico, possui somente significado matemático.
A equação de Maxwell
∇iB = 0 define que não existem monopolos
magnéticos. Uma vez que o divergente de um campo vetorial é nulo, e,
Das propriedades da divergência, podemos reescrever o divergente como
sendo o rotacional de um outro campo vetorial:
∇i ∇ × A = 0
Campo magnético estacionário
Potenciais magnéticos escalar e vetorial
Temos, pois, que:
B = ∇×A
O campo vetorial A é denominado potencial magnético vetorial, a partir
do qual pode-se determinar o campo magnético com a operação acima.
Assim,
H=
1
µ
∇ × A ⇒ µH = ∇ × A = B ⇒ ∇ × B = ∇ × ∇ × A = µ J
∇(∇i A) − ∇2 A = µ J ∴∇ 2 A = − µ J
∴∇2 Ax a x + ∇2 Ay a y + ∇ 2 Az a z = − µ (J x a x + Jy a y + Jz a z )
Campo magnético estacionário
Potenciais magnéticos escalar e vetorial
Logo,
∇2 Ax = − µ J x
∇ 2 Ay = − µ Jy
∇ 2 Az = − µ Jz
As relações acima tomam a forma da Equação de Poisson e, portanto:
Ax =
µ
J x dv
∫
4π R vol
µ
Jy dv
∫
4π R vol
µ
∴A =
Jdv
∫
vol
4π R
Ay =
Az =
µ
Jz dv
∫
4π R vol
A expressão acima tem o mesmo significado da Lei de Biot-Savart.
Campo magnético estacionário
Potenciais magnéticos escalar e vetorial
µ
IdL
A=
∫
4π R
Portanto, A pode ser re-escrito como
, que corresponde
a uma corrente I que flui ao longo de um filamento condutor, do qual dL
é um elemento diferencial e R é a distância para a qual se deseja calcular A.
Na forma diferencial,
µIdL
dA =
4π R
.
Campo magnético estacionário
Potenciais magnéticos escalar e vetorial
dA =
µ I dz a z
4π ρ 2 + z 2
dA z =
µ I dz
4π ρ 2 + z 2
Note-se que a direção de dA é a
mesma de IdL. Agora pode-se
calcular o campo magnético a
partir de A.
1
1 ∂dAz
Idz
aφ ∴ dH =
dH = ∇ × dA = −
µ
µ ∂ρ
4π
(
ρ
aφ
3
2
2
z
ρ +z
)
Este resultado é o mesmo obtido pela Lei de Biot-Savart
