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1◦ semestre 2015.
Universidade Federal do Paraná
Topologia Geral, EMA 749
Olivier Brahic
Lista de exercicios 2
Espaços Topológicos
Topologias
Exercicio 1: Enumere todas as topologia dos conjuntos X = {1, 2} e Y = {1, 2, 3}.
Exercicio 2: Seja (X, T ) um espaço topológico e Y ⊂ X um subconjunto. Consideremos a
coleção seguinte :
T |Y := {U ⊂ Y : U ∈ T }
Mostre que T |Y defina uma topologia em Y (chama-se de topologia induzida por T no subconjunto Y ⊂ X).
Exercicio 3: Sejam (X, TX ) e (Y, TY ) dois espaços topológicos, e h : X → Y uma aplicação.
Mostre que h é contínua se e somente se h−1 (F ) é fechado em (X, TX ) para qualquer conjunto
F fechado em (Y, TY ).
Exercicio 4: Seja X := R ∪ {∞} e T a coleção definida por :
T := {∅} ∪ U ∪ {∞} : U é aberto em R para a topologia usual .
a) Verifique que T defina uma topologia em R.
b) Exhibe uma sequência que tem duas limites diferentes em (X, T ).
Exercicio 5: Consideremos a coleção de subconjuntos de R seguinte :
T := {∅} ∪ {R} ∪ ] − ∞, r[ : r ∈ R .
a) Mostre que T defina uma topologia em R.
b) Compare T com a topologia usual.
Exercicio 6: Consideremos a coleção de subconjuntos de R seguinte :
B := {∅} ∪ {R} ∪ ] − ∞, r] : r ∈ R .
a) Mostre que B não defina uma topologia em R.
b) Ache a menor topologia T que contem B.
c) Compare T com a topologia usual, com a topologia do exercicio precedente.
Exercicio 7: Seja Tl a menor topologia em R que contem todos os intervalos da forma [a, b[.
A topologia Tr e definida de maneira semelhante, como a menor topologia que contem todos
os intervalos da forma ]a, b]. Mostre as asserções seguintes :
a) Um subconjunto V pertence a Tl se e somente se para qualquer x ∈ V, existe um intervalo
[a, b[ tal que x ∈ [a, b[.
b) As topologias Tl e Tr são mais finas do que a topologia usual TR , mais Tl e Tr não podem
ser comparadas.
c) A topologia discreta Tdisc é a única que contem Tl e Tr .
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Bases de vizinhanças
Exercicio 8: Seja (X, T ) um espaço topológico. Soponha que x ∈ X admite uma base de
vizinhaças countavel Bx . Mostre que x admite uma base de vizinhanças Bx0 que é decrescente,
ou seja :
Bx0 = {B10 , B20 , B30 . . .} onde B10 ⊃ B20 ⊃ B30 ⊃ . . .
Funções contínuas
Exercicio 9: Sejam (X, T ) um espaço topológico e n funções f1 , . . . , fn : X → R. Consideremos :
f := (f1 , . . . , fn ) : X → Rn .
a) Mostre que f é continua se e somente se f1 , . . . , fn o são.
b) Deduza que a somma f1 + · · · + fn : X → R e o produto f1 . . . fn : X → R de funções
contínuas são contínuos.
Exercicio 10: Seja (X, TX ) um espaço topológico. Mostre as asserções seguintes :
a) Qualquer aplicação f : (X, T ) → (Y, Ttriv ) é contínua.
b) Qualquer aplicação f : (Y, Tdisc ) → (Y, T) é contínua.
c) Para qualquer outra topologia T 0 em X, a aplicação identidade Id : (X, T ) → (X, T 0 ) é
contínua se e somente se T ⊂ T 0 .
Exercicio 11: Denotemos TR a topologia usual em R, e consideremos as topologias seguintes :
• A topologia co-enumeravel Tco-en (lembre que U ∈ Tco-en se e somente se U = ∅ ou R − U
é um conjunto enumeravel ou finito),
• A topologia T := TR ∩ Tco-en definida por :
T := V ∩ W ⊂ R : V ∈ TR , W ∈ Tco-en .
a) Verifique que Tco-en e T definem topologias em R.
b) Descreve as sequências convergentes em (R, Tco-en ) e (R, T ).
c) Exhibe uma função f : (R, Tco-en ) → (R, T ) que preserve as sequências convergentes mais
que não é contínua.
Exercicio 12: O espaço Mn (R) de matrizes n × n com coeficientes reais pode ser identificado
2
2
com Rn . Assim, Mn (R) vem com uma topologia (a topologia usual de Rn ). Mostre que :
a) o subespaço Gln (R) de matrizes invertiveis é aberto em Mn (R).
b) o subespaço Sln (R) de matrizes de determinante 1 é fechado em Gln (R).
c) o subespaço On (R) de matrizes ortogonais On (R) = {A ∈ Gln (R), A.At = Id} é fechado
em Gln (R).
Exercicio 13: Considere R com a topologia Tl do Exercicio 7. Quais das funções f : (R, Tl ) →
(R, Tl ) seguintes são contínuas ?
a) f (x) = x + 1,
b) f (x) = −x,
c) f (x) = x2 .
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Homeomorfismos
Exercicio 14: Sera que a propriedade de ser metrizavel é uma propriedade topológica ?
Exercicio 15: Mostre que os espaços seguintes são homeomorfos :
X := (x, y ∈ R2 : 0 < x2 + y 2 ≤ 1) ⊂ R2 ,
1
Y := (x, y ∈ R2 : < x2 + y 2 ≤ 1) ⊂ R2 ,
2
3
Z := (x, y, z) ∈ R : x2 + y 2 = 1, 0 < z ≤ 1 ⊂ R3 .
Qual o interior e a fronteira de X, Y em R2 , e de Z em R3 . Porque que são diferentes, mesmo
que X, Y e Z são homeomorfos ?
Exercicio 16: Sera que a propriedade de ser metrizável é uma propriedade topológica ?
Exercicio 17: Mostre que R munido da topologia usual não é homeomorfo a (R, T ), onde T
denota a topologia do Exercicio 5.
Convergência
Exercicio 18: Estude a convergência das sequências (xn )n∈N e (yn )n∈N em (R, Tl ), onde Tl é
a topologia do Exercicio 7, e :
1
1
xn := , yn := − .
n
n
Fecho, Interior
Exercicio 19: Seja (X, T ) um espaço topológico e A, B ⊂ X dois subconjuntos.
a) Mostre que :
• A ⊂ B ⇒ Å ⊂ B̊.
˚
\
• A
∩ B = Å ∩ B̊.
˚
˚
\
\
• A
∪ B ⊃ Å ∪ B̊, más A
∪B =
6 Å ∪ B̊ em geral.
b) Mostre que :
• A ⊂ B ⇒ A ⊂ B.
• A ∪ B = A ∪ B.
• A ∩ B ⊂ Å ∩ B̊, más A ∩ B 6= A ∩ B em geral.
Exercicio 20: Seja (X, T ) um espaço topológico e {Ai , i ∈ I} uma familia de subconjuntos
Ai , indiçada por i ∈ I, onde I é um conjunto qualquer. Mostre que :
a) se I é finito, então ∪i∈I Ai = ∪i∈I Ai .
b) mesmo que I não é finito, temos : ∪i∈I Ai ⊃ ∪i∈I Ai , mais ∪i∈I Ai e ∪i∈I Ai podem ser
diferentes.
Exercicio 21: Seja Tl a topologia do Exercicio 7. Determine o fecho e o interior em (R, Tl )
dos intervalos seguintes :
[0, 1], ]0, 1], ]0, 1[, [0, 1].
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Exercicio 22: Mostre que para qualquer espaço topológico (X, T ), e qualquer subconjunto,
temos que :
∂(A) = ∂(X − A).
Densidade
Exercicio 23: Mostre que Q e denso em R.
Exercicio 24: Mostre que Gln (R) é denso em Mn (R).
Espaços de Hausdorff, segundo axioma de enumerabilidade, separação
Exercicio 25: Quais são as topologias do Exercicio 1 que são Hausdorff ?
Exercicio 26: Seja (X, T ) um espaço topologico de Haudsdorff. Mostre que qualquer conjunto
da forma {x}, onde x ∈ X é fechado.
Exercicio 27: Seja (X, T ) um espaço topologico satisfazendo o segundo axioma de enumerabilidade. Mostre que para qualquer cobertura (Ui )i∈I admite uma subcobertura enumerável.
Pn
2
Exercicio 28: Mostre que a esfera S n = {(x0 , ,̇xn ) ∈ Rn :
i=0 xi = 1} é uma variedade
diferencial que pode ser coberta por duas cartas. Calcula a mudança de cartas.
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